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Aristarco di Samo
   Rodolfo Baggio

Aristarco di Samo (310 a.C. - 230 a.C.) è una figura non particolarmente famosa nella storia dell'Astronomia e della Matematica.

Egli è solitamente citato come uno dei precursori di Copernico nel proporre una visione eliocentrica del cosmo. Una visione in cui il Sole, fermo, occupa il centro del sistema e Terra e Pianeti gli orbitano intorno, mentre la Luna orbita intorno alla Terra e le stelle sono fisse sullo sfondo.

Tutte le informazioni che abbiamo su di lui ci vengono da alcuni riferimenti alle sue teorie fatte da altri scrittori classici come Archimede e Plutarco. Archimede dice di lui ne L'Arenario:

…Aristarco ha pubblicato un libro contenente certe ipotesi da cui appare, come conseguenza delle assunzioni fatte, che l'universo è molte volte più grande dell'universo appena citato. Le sue ipotesi sono che il sole e le stelle fisse restano ferme, che la terra gira intorno al sole sulla circonferenza di un cerchio di cui il sole occupa il centro, e che la sfera delle stelle fisse, situata intorno allo stesso centro, è così grande che il cerchio in cui egli suppone che la terra si muova dista dalle stelle fisse tanto quanto il centro della sfera dista dalla sua superficie….

Non conosciamo altri astronomi che abbiano esposto idee simili prima di lui. Peraltro i suoi successori non accettarono le sue ipotesi, fatto, questo, che non contribuì certo alla sua popolarità.

Secondo Plutarco, Aristarco seguiva la teoria di Eraclide di Ponto che pensava che la rotazione diurna delle stelle fisse fosse dovuta alla rotazione della Terra sul suo asse. E di lui parla Vitruvio (I sec. d.C.), il famoso architetto e ingegnere romano, che lo cita nel De Architectura in una lista di personaggi cui si devono invenzioni e risultati di particolare importanza per lo sviluppo delle scienze e della tecnica.

Matematico ed astronomo egli occupa tuttavia un posto importante nello sviluppo dell'astronomia matematica; oltre alle sue teorie, infatti, a lui si deve il primo tentativo di determinare le dimensioni e le distanze del Sole e della Luna.

I valori da lui ricavati, per quanto errati, furono utilizzati da tutti i suoi successori per più di 1500 anni. Solo verso il XVII secolo, infatti, dopo le osservazioni di Copernico, Tycho Brahe, Keplero ed altri si ebbe una determinazione corretta di queste distanze.

L'unica opera di Aristarco sopravvissuta si chiama Sulle grandezze e le distanze del Sole e della Luna e fornisce, fra le altre, la deduzione geometrica della distanza fra la Terra e il Sole sulla base delle osservazioni, ma non fa alcun cenno alle sue ipotesi eliocentriche.

Le ipotesi da cui parte possono essere riassunte come segue:

  1. la Terra è una sfera
  2. il Sole è lontano, ma non troppo perché i suoi raggi colpiscano Terra e Luna con angoli diversi
  3. la Luna orbita intorno alla Terra in modo che sia possibile avere le eclissi

Ecco la sua discussione.


Fig. 1

Nella figura 1 siano: S la posizione del Sole, T quella della Terra, L quella della Luna quando metà della sua superficie è illuminata (primo o ultimo quarto).

Dalle osservazioni si ha che l'angolo (STL) fra Sole e Luna al primo quarto è di 87°, allora TSL = 3°.

Ora sia ETH = TSL = 3°. Costruiamo poi TG bisettrice dell'angolo FTE (= 45°).

Considerando la circonferenza con centro in T e raggio = TE, il rapporto fra le lunghezze dei segmenti GE e HE (tangenti alla circonferenza in E) è maggiore del rapporto fra gli archi e gli angoli relativi (*). Il rapporto GE/HE sarà quindi maggiore del rapporto fra ¼ e 1/30 di un angolo retto (STE), cioè maggiore di 15/2.

Inoltre FG : GE = TF : TE = v2 (**), maggiore di 7/5, quindi (poiché FE=FG+GE): FE/GE>12/5.

Combinando le due disuguaglianze troviamo che FE/HE > 15/2 x 12/5 = 18 e il rapporto ST/TL è uguale, per similitudine, a TH/HE e questo è a sua volta maggiore di FH/HE. Quindi ST/TL è maggiore di 18.

Ora, il rapporto fra due corde disuguali è minore del rapporto fra gli archi sottesi (***), consideriamo quindi DE che sottende un angolo al centro di 6° sul semicerchio TDE e il lato (uguale al raggio) di un esagono regolare che sottende un angolo di 60°.

Troviamo che (½ TE)/DE < 10, quindi ST/TL < 20.

Con l'uso della trigonometria, sconosciuta ad Aristarco, la sua deduzione è equivalente alla situazione mostrata in fig. 2


Fig. 2

Il rapporto fra le distanze del Sole e della Luna è dato da sen 3°; il ragionamento di Aristarco equivale a calcolare un valore per questa espressione, il cui risultato è:

1/18 < sen 3° < 1/20

In altri termini il Sole è 18 – 20 volte più lontano della Luna.

La distanza angolare fra Sole e Luna viene stimata da Aristarco in 87°, il valore corretto è di circa 89° 51' che porta il rapporto fra le due distanze a circa 400 volte. L'errore deriva dalla difficoltà di misurare esattamente l'angolo formato fra il Sole e la Luna e dalla difficoltà di calcolare ed osservare il momento esatto in cui la parte illuminata della Luna è del 50%.

(i valori oggi correntemente usati sono: distanza media della Luna: 384 400 km, distanza media del Sole: 149 600 000 km, il rapporto fra le due distanze è quindi circa uguale a 389.2).

Stesso valore (18-20 volte) ha il rapporto fra le dimensioni del Sole e della Luna, visto che essi hanno lo stesso diametro apparente, come dimostra l'esistenza delle eclissi solari.

Stranamente Aristarco usa il valore di 2° come diametro angolare del Sole e della Luna. Archimede, però, cita un valore di 0.5° (in prima approssimazione è il valore oggi accettato), attribuendolo ad Aristarco. Forse Sulla grandezza e la distanza del Sole e della Luna è un'opera giovanile e solo più tardi egli formulò l'ipotesi eliocentrica e calcolò un valore più accurato delle dimensioni angolari del Sole.

In realtà, come a molti dei filosofi greci, ad Aristarco non interessava tanto trovare valori accurati, quanto formulare la teoria e il procedimento per arrivare al risultato.

Procedimento perfettamente valido e corretto, nonostante i valori errati lo portassero a conclusioni sbagliate.

 



Note:

(*) Dato un angolo alla circonferenza il segmento di tangente è maggiore dell'arco e della corda sottesa dall'arco: TanA > ArcA >CrdA.

Quindi il teorema cui si riferisce Aristarco dice che:

TanA : TanB > ArcA : ArcB > CrdA : CrdB

Espresso in termini moderni, facendo uso della trigonometria, questo teorema è equivalente all'espressione:

tanA/tanB > A/B > senA/senB

(per 0° < B < A < 90° con A e B espressi in radianti).

(**) In un triangolo qualunque, la bisettrice di un angolo divide il lato opposto in due segmenti proporzionali ai lati adiacenti (v. Legendre: Elementi di Geometria Piana, libro III, prop. XVII, pag. 88). Caso particolare di questo teorema è quello del triangolo isoscele, in cui la bisettrice dell'angolo al vertice divide il lato opposto in due segmenti uguali.

(***) Tolomeo (Almagesto I,10), dimostra che in una circonferenza, date due corde disuguali CrdA e CrdB che sottendono gli archi ArcA e ArcB, se CrdA > CrdB, allora il rapporto fra le due corde è minore del rapporto fra gli archi:

CrdA : CrdB < ArcA : ArcB.


Aristarchus Biography in Encyclopaedia Britannica (WWW version: http://britannica.com/bcom/eb/article/1/0,5716,9551+1,00.html)

Aristarchus of Samos : http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/References/Aristarchus.html

Sizes and Distances in The Sun-Earth-Moon System: An Introductory Astronomy Lab: http://www.astro.washington.edu/labs/eratosthenes/rung1.html

Astronomy Before the Telescope, ed. by Walker, C. B. F. (British Museum Press, London, 1996), trad. it. di E. Joli: L'Astronomia prima del telescopio (Dedalo, Bari, 1997).

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Abetti, G., Storia dell'Astronomia (Vallecchi, Firenze, 1964).

Boyer, C. B., A History of Mathematics (John Wiley & Sons, New York, 1968), trad. it. di A. Carugo: Storia della Matematica (Mondadori, Milano, 1980).

Dreyer, J. L. E., A History of Astronomy from Thales to Kepler (Dover, New York, 1953), trad. it. di L. Sosio: Storia dell'Astronomia da Talete a Keplero (Feltrinelli, Milano, 1970)

Legendre, A. M., Elementi di Geometria Piana (Tipografia Simoniana, Napoli, 1864).

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R. Baggio - http://matematica.uni-bocconi.it, maggio 2000

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